콕스 비례 위험 모델 (Cox PH Model) [Survival analysis]

앞서 살펴본 카플란 마이어 곡선은 생존율의 차이를 쉽게 볼 수 있는 매우 간단한 모델이다.

그런데, 연구자 입장에서는 단순히 생존율의 증감 뿐만 아니라 성별, 그룹 등 어떠한 변수에 따른 위험 정도를 평가하는 것에 더 관심을 가질 수 있다.

왜냐하면 변수에 따른 영향력을 평가하는 것은 경영활동 등 여러 분야에 큰 시사점을 던져주기 때문이다.

예를 들어 성별 등 어떤 집단 간의 위험 정도가 얼마나 차이나는 지를 평가할 수 있다면, 비용 등 마케팅에 들어가는 자원을 결정하고 조정할 수 있는 것이다.

그 시사점을 던져주는 것이 바로 콕스 비례 위험 모형이다.

 

콕스 비례 위험 모형이란?

 

콕스 비례 위험 모형이란 생존분석에 쓰이는 통계적 모델로, 비모수적 특징과 모수적 특징을 모두 가지는 준모수적 모델이다.

이 모델은 비모수적 모델인 카플란 마이어와 같이 "시간에 따른 이벤트"를 종속변수(타겟)로 가지지만, 독립변수들의 영향력을 추정하여 종속변수를 예측하는 모수적인 특징 또한 가진다.

이 모형은 카플란 마이어에서 생존함수를 구하는 것과 마찬가지로 중도 절단된 값을 처리할 수 있다는 장점이 있다.

 

 

위와 같이 콕스 비례 위험 모형은 시간에 따른 이벤트(생존시간, y)와 공변량(x) 간의 관계를 나타내기 위해 회귀모형으로써 위험함수를 추정한다. 위 식에서  h0은 위험 기저 함수로, HF(Hazard Function)은 기저 위험에 변수들의 영향력이 더해진 지수함수의 모양을 갖는다.

 

이 모형는 대표적인 모수적 모델인 회귀분석과 달리, 종속변수에 어떠한 분포적 가정을 하지 않는다. (회귀분석은 오차항과 종속변수 y가 정규분포를 따른다고 가정한다.)

그러나 변수들의 영향력을 추정하고 결과값을 예측하는 그 기능은 일반적인 회귀분석과 매우 닮아있다.

이에 혹자는 콕스 비례 위험 모형을 콕스 회귀분석이라고 부르기도 한다.

 

비례 위험 가정

 

콕스 비례 위험 모형이라는 이름에서 "비례 위험"은 매우 중요하고 핵심적인 의미를 갖는다.

여기서 이 모형은 비례 위험에 대해 핵심적인 가정을 갖는데,

"위험비는 시간에 관계없이, 어떤 시점에 관계없이 일정하다."는 것이다.

 

다시 말해 서로 다른 특성의 위험 정도는 특성에 의한 차이만 있을 뿐, 시간에 영향을 받지 않는다는 것이다.

 

만약, x=1이 남성이고 x=0이 여성이라면, 여성에 비한 남성의 위험 정도는 "베타"로 동일하다.

이 비례 위험 가정은 시간과 이 모형에 따른 잔차의 독립성을 검정하여 확인할 수 있는데,

이 가정이 충족되어야만 특성에 따른 순수한 영향력을 추정할 수 있다.

 

만약에 가정의 오류가 확인된다면, 회귀식에 교호작용의 영향력을 추가하거나 층화작업을 통해 데이터 셋을 분리하는 교정 과정을 거쳐야 한다.